Question

数学向量题

已知向量ab满足向量a＝（2，0），|b|＝1,|a+b|=根号3，则向量a,b所成角为

Answer 1

|b|＝1，设b与x轴交角为α，则
b=(cosα，sinα），而
a=(2,0)
所以
a+b=(2+cosα，sinα）
|a+b|=根号3，所以（a+b）²=3
即

（2+cosα）²+sin²α=3

4+4cosα+cos²α+sin²α=3
化简得
cosα=
-1/2,所以
α=2π/3
因为a=(2,0),即向量
a与x轴正方向一致，
所以b与x轴正方向的夹角就是
向量a与b的交角，也就是

α=2π/3
解法2：由
|a+b|=根号3，所以（a+b）²=3

即

a²+b²+2ab=3

由a=(2,0),可得 |a|＝2,所以
a²=4，又
|b|＝1，所以
b²=1，代入上式得
ab=-1

a,b的交角设为α，则
cosα=ab/ |a||b|=-1/2,

所以也得

α=2π/3

Answer 2

解：
设：向量b=（m，n），则：a+b=（2+m，n）
|b|＝√(m^2+n^2)
=1
所以
：m^2+n^2=1
----（1）
|a+b|=√(2+m)^2+n^2)
=√3
所以：4+4m+m^2+n^2
=3
----（2）
将（1）代入（2）得：4+4m+1=3
所以：
m=-1/2
代入（1）得：1/4+n^2=1
所以：n=√3
/2
或
-√3
/2
所以：向量b=（-1/2，√3
/2）或（-1/2，-√3
/2)，在第二
或
第三象限
因为 向量a＝（2，0）在x轴正方向上，所以：
180°＞〈a,b〉＞90°
或
-90°＞〈a,b〉＞-180°
cos〈a,b〉=（-1/2）/|b|=-1/2
〈a,b〉=120°
或
-120°

O(∩_∩)O~

Answer 3

见图。
因为
(√3)^2
+
1^2
恰等于
2^2，所以a、b、a+b
构成以
a
为斜边的直角三角形；
arctan√3
=
60°，所以向量a,b之间的夹角为
180
-
60
=
120°
。