Question

求函数f（x）=根号下5+4cosx分之sinx（0≤x≤2π）的值域。

Answer 1

首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域
求导
f'(x)
=cosx/根号(5+4cosx)+2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2)
=[cosx(5+4cosx)+2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2)
=[2(cosx)^2+5cosx+2]/(5+4cosx)^(3/2)
=(2cosx+1)(cosx+2)/(5+4cosx)^(3/2)
所以当2cosx+1=0即cosx=-1/2时
f'(x)=0
cosx=-1/2对应
x=120度sinx=√3/2
以及
x=240度sinx=-√3/2
在x=120度时
f(x)=(√3/2)/√(5-4*1/2)=1/2
在x=240度时
f(x)=-1/2
而在边界处
f(0)=f(360度)=0
在[0<=x<=2π]上，f(x)是连续函数。结合边界取值以及极值情况可以知道
f(x)在[0,120]单调递增，在[120,240]单调递减，在[240,360]单调递增。
综上所述，值域为
[-1/2,1/2]