Question

判断级数∑1/n(2/5)n的敛散性

求下列数项级数的部分和,判断其敛散性,并在收敛是求出其和
2).∑(1/3^n+1/5^n)
3).∑(2/7^n-5/2^n)
对于2）、
∑(1/3^n+1/5^n)=∑(1/3^n）+∑（1/5^n)
而右边每一个级数都是公比小于1的等比级数,所以收敛
∑(1/3^n+1/5^n)=∑(1/3^n）+∑（1/5^n)
=lim[(1/3^n)/(1-1/3)]+lim[(1/5^n)/(1-1/5)]
=1/2+1/4
=3/4
为什么∑(1/3^n）=lim[(1/3^n)/(1-1/3)]?这两个相等怎么弄的?
∑（1/5^n)=lim[(1/5^n)/(1-1/5)] 还有这个、这一节没看到这种公式啊?
对于3）、
∑(2/7^n-5/2^n) =∑(2/7^n）-∑（5/2^n)
前一项收敛,后一项不收敛,所以不收敛
为什么说前一项收敛、后一项不收敛?为什么我用计算器算了一下2/7^n和5/2^n随着n的增加都无限接近0呢?

Answer 1

对于(3),前一个等比级数的公比2/7介于-1和1之间,收敛,第二个等比级数的公比5/2大于1,发散.
对于(2),相当于等比数列前n项求和,只是现在n趋向于无穷大,是一个极限问题.