Question

在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC

Answer 1

1(2a-c)cosB=bcosCa=sinA/2R,b=sinB/2R,c=sinC/2R故(2sinA/2R-sinC/2R)cosB=sinB/2R*cosC
(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
又sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
故2sinAcosB=sinA
2cosB=1
cosB=1/2
角B的大小是60度
若a,b,c成等比数列
即b^2=ac
由余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=((a+c)^2-2ac-b^2)/2ac=1/2
(a+c)^2-2ac-b^2=ac
(a+c)^2-2ac-ac=ac
a^2+c^2-2ac=0
(a-c)^2=0
a-c=0
即a=c
又角B的大小是60度
故三角形ABC是等边三角形