Question

将函数f(x)=1/x^2+5x+6展开成(x-4)的幂级数，并求展开式成立的区间

Answer 1

利用常见函数的幂级数展开
1/(1-x)
=
Σ[n=(0,∝)]
x^n，x∈(-1,1)
所以f(x)=1/(x^2+5x+6)
=1/[(x+2)(x+3)]
=1/(x+2)
-
1/(x+3)
=1/[6+(x-4)]
-
1/[7+(x-4)]
=(1/6)
*
1/[1+(x-4)/6]
-
(1/7)
*
1/[1+(x-4)/7]
=(1/6)
*
1/[1-(-1)*(x-4)/6]
-
(1/7)
*
1/[1-(-1)*(x-4)/7]
=(1/6)
*
Σ[n=(0,∝)]
[(-1)*(x-4)/6]^n
-
(1/7)
*
Σ[n=(0,∝)]
[(-1)*(x-4)/7]^n
=Σ[n=(0,∝)]
(-1)^n
*
{
(1/6)*[(x-4)/6]^n
-
(1/7)*[(x-4)/7]^n
}
=Σ[n=(0,∝)]
(-1)^n
*
[
(x-4)^n
/
6^(n+1)
-
(x-4)^n
/
7^(n+1)
]
=Σ[n=(0,∝)]
(-1)^n
*
[
1/6^(n+1)
-
1/7^(n+1)
]
*
(x-4)^n
由(-1)*(x-4)/6∈(-1,1)，得x∈(-2,10)
由(-1)*(x-4)/7∈(-1,1)，得x∈(-3,11)
所以x∈(-2,10)
综上所述，f(x)
=
1/(x^2+5x+6)
=
Σ[n=(0,∝)]
(-1)^n
*
[
1/6^(n+1)
-
1/7^(n+1)
]
*
(x-4)^n，x∈(-2,10)

Answer 2

明显的，后一张图片的答案打印错了，
(x-2)
应为
(x+1)；x
的取值范围是两个级数收敛域的交集。