Question

在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行.

直线l2过点B(0，2)且与x轴平行.直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点，反比例函数 (k＞0)的图象过点E与直线l1相交于点F.问:是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在，求E点坐标;若不存在，请说明理由 要具体过程，拜托啦后天要交了!!

Answer 1

存在
∵当反比例函数过点P时K=2，且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k＜2时，(作图，图我就不画了)由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等，只可能为△MEF≌△PEF，EF为公共边，作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE，BM/FC=EM/CM
∵CH=1，EM=PE=1-k/2
，CM=PE=2-k
∴BM=(1-k/2)/2-k，解得BM=1/2
∴据勾股定理得(1-k/2)²=(k/2)²+(1/2)²，解得k=3/4
∴此时y=3/4x
,
E坐标为(3/8,2)
当K＞2时，(同样是作图)
由图可得，只能是△MEF≌△PEF，作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1，EM=PF=k-2，FM=FE=k/2-1
∴BM=(k-2)/(k/2-1)，解得BM=2
∴据勾股得
(k-2)²=(k/2)²+2²
，解得k1=0(舍去)，k2=16/3
∴此时y=16/3x
，E坐标为(8/3,2)
综上所述，符合条件的E点坐标有
E1(3/8,2)，
E2(8/3，2)