Question

如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC

Answer 1

本题可通过构建直角三角形求解，作BC边上的高AF；可在Rt△ABF和Rt△APF中，分别用勾股定理表示出AF的长，联立两式即可求得所证的结论．
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解：过A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
则AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²-AP²=BF²-FP²=(BF+FP)(BF-FP)；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC(三线合一)；
∴BF+FP=CF+FP=PC，BF-FP=BP；
∴AB²-AP²=BP•PC．
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