Question

为什么有界数列不一定收敛，而收敛数列必为有界数列？

Answer 1

1、例如(-1)^n，数列为-1，1，-1，1，...；一直震荡,显然有界，但是没极限。

2、收敛数列必有界，证明：设数列{An}，n>=1，收敛于A，则对任意的a>0，存在一个N，使得对一切n>N有|An-A|<a；取a=1，则存在N'，使|An-A|<1对所有n>N'成立，即有|An|=|An-A+A|<=|An-A|+|A|<1+|A|。

再注意N'之前只有有限项，所以取M=max{|A1|，|A2|，…|A_N'|，1+|A|}，则有|An|<M 对任意n>=1成立，也即数列有界。

有界数列不一定收敛，例子很多，比如：(-1)^n, 此数列在1与-1之间波动，不收敛。

扩展资料：

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界；数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1，2，3，……。

Answer 2

这很好理解啊
所谓收敛就是说它有极限
既然是有极限值那肯定是有界的
但是有边界的不意味着它有极限值
如（-1）n次方，它是在震荡
所以不是收敛的
再看看别人怎么说的。

Answer 3

前者很好举例，＜-1＞∧n.
它是有界的
-1
1之间，但不收敛
如果数列收敛，则数列一定单调有界