Question

求x趋于0时，(e^x-cosx)/x^2极限

Answer 1

解：用无穷小量替换。

∵x→0时，cosx~1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4、e^x~1+x。

又，2-2cosx=2(1-cosx)~x^2-(1/12)x^4。

∴e^(x^2)-e^[2-2cosx]~e^(x^2)-e^[x^2-(1/12)x^4]~(1+x^2)-[1+x^2-(1/12)x^4]=(1/12)x^4。

∴原式=(1/12)lim(x→0)x^4/x^4=1/12。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

解：分享一种解法，用无穷小量替换。
　　∵x→0时，cosx~1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4、e^x~1+x，
　　又，2-2cosx=2(1-cosx)~x^2-(1/12)x^4，
　　∴e^(x^2)-e^[2-2cosx]~e^(x^2)-e^[x^2-(1/12)x^4]~(1+x^2)-[1+x^2-(1/12)x^4]=(1/12)x^4，
　　∴原式=(1/12)lim(x→0)x^4/x^4=1/12。
　　供参考。