Question

求下列幂级数的收敛域及和函数？

Answer 1

幂级数通项系数an＝1/(n+1).由于
lim(n⥤∞)a(n+1)/an＝1，
所以，幂级数收敛半径R＝1.
当x＝-1时，幂级数成为∑(-1)^n /(n+1)收敛；当x＝1时，幂级数成为∑1/(n+1)发散。故所求幂级数收敛域为[-1,1).
设f(x)＝∑x^n /(n+1)，x∈[-1,1). 则有
xf(x)＝∑x^(n+1) /(n+1)，
[xf(x)]'＝∑x^n＝x/(1-x).
于是
xf(x)＝∫x/(1-x) dx＝-∫[(1-x)-1]/(1-x) dx
＝-x-ln|1-x|+C.
令x＝0代入上式两端，求得C＝0.
因此 f(x)＝-1-ln|1-x|/x.