将f(x)=(e^x-e^-x)/2展开成x的幂级数,并求其收敛区间
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解：∵f（x）=ex，
∴f′（x）=f″（x）=....=f^n（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=....=f^n（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
∴f′（x）=f″（x）=....=f^n（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=....=f^n（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
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