Question

已知n阶矩阵A,B满足A加B等于A乘B,(1)试证A减E为可逆矩阵，其中E为n阶单位

已知n阶矩阵A,B满足A加B等于A乘B,(1)试证A减E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵;(2)试证必有AB=BA

Answer 1

证明:
因为
A+B=AB
所以
(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E
所以
A-E
可逆,
且
(A-E)^-1
=
B-E.
由上知
A-E
与
B-E
互逆
故有
(B-E)(A-E)=E
可得
BA=A+B
从而有
AB=BA.