Question

已知函数f(x)=x1+x2的定义域为(-1，1).求:(I)判断并证明f(x)...

已知函数f(x)=x1+x2的定义域为(-1，1).求: (I)判断并证明f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)解关于t的不等式f(t-12)+f(t)＜0.

Answer 1

解答:解:(I)f(x)在定义域内为增函数，证明如下:
设x1，x2∈(-1，1)且x1＜x2，
则f(x2)-f(x1)=
x2
1+
x
22
-
x1
1+
x
21
=
x2+x2
x
21
-x1-x1
x
22
(1+
x
21
)(1+
x
22
)
=
(x2-x1)(1-x2x1)
(1+
x
21
)(1+
x
22
)
，
∵-1＜x1≤x2＜1，∴x2-x1＞0，1-x2x1＞0，
∴有f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)在定义域内为增函数;
(II)∵f(x)定义域为[-1，1]且关于原点对称，
又f(-x)=-
x
1+x2
=-f(x)，
∴f(x)在定义域内为奇函数，
由f(t-
1
2
)+f(t)＜0，得f(t-
1
2
)＜-f(t)=f(-t)，
又f(x)在(-1，1)上单调递增，∴-1＜t-
1
2
＜-t＜1，
解得t∈(-
1
2
，
1
4
).