Question

已知数列an和bn满足a1a2…an=2^(bn-n),若an为等比数列,且a1=1,b2=b1

Answer 1

⑴因为b(n+1)=2bn+2
b(n+1)+2=2(bn+2)
[b(n+1)+2]/(bn+2)=2
b1=a2-a1=4-2=2
b1+2=4
所以{bn+2}为首项为4
公比为2的等比数列
{bn+2}=4*2^(n-1)=2^(n+1)
bn=2^(n+1)
-2
b1=a2-a1
b2=a3-a2
b3=a4-a3
……
bn=a(n+1)-an
累加得,sn=b1+b2+b3+……+bn=a(n+1)-a1=2^2-2+2^3-2+……+2^(n+1)-2
=2^2+2^2+2^3+……+2^(n+1)-2n
=[4*(1-2^n]/(1-2)
-2n
=2^(n+2)-4-2n
所以a(n+1)-a1=2^(n+2)-4-2n
a(n+1)=2^(n+2)-2*(n+1)
an=2^(n+1)-2n
n=1
a1=2也满足an
所以an=2^(n+1)-2n