Question

如何用逐项求积分或求导求和函数

Answer 1

原式=∑n^2x^n/(2^n
n!)+∑x^n/(2^n
n!)=b+a
a=∑x^n/(2^n
n!)=∑(x/2)^n/n!=e^(x/2)
b=∑n^2x^n/(2^n
n!)=x/2*∑n(x/2)^(n-1)/(n-1)!=x/2*∑(n+1)(x/2)^n/n!,
这里最后n从0开始。
对∑(n+1)(x/2)^n/n!积分：得f(x)=2∑(x/2)^(n+1)/n!=x*∑(x/2)^n/n!=xe^(x/2)
故f'(x)=e^(x/2)+x/2*e^(x/2)=e^(x/2)*(1+x/2)
因此有b=x/2*(1+x/2)e^(x/2)
故原式=b+a=e^(x/2)(1+x/2+x^2/4)
收敛区间为r