Question

已知，如图△ACD和△BCE都是等边三角形，A,C,B共线。AE交DC于M，BD交CE于N，连接MN。求证：MN‖AB

Answer 1

解：BM=BN．理由：
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°．
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE．
∴△CBD≌△EBA．
∴∠CDB=∠BAM．
又∵A，B，C三点共线，
∴∠MBE=60°=∠ABD．
∴△BMA≌△BND．
∴MB=MN．
先猜测BM=BN，那么就应证明BM和BN所在的三角形全等．当有两个等边三角形如此排列的时候，可得△CBD≌△EBA，得到一组对应角相等，进而求得△BMA≌△BND即可得证．

Answer 2

因为△ACD和△BCE都是等边△，所以MC平行BE,NC平行AD
于是
MC/BE=AC/AB
于是
MC=AC/AB*BE
而BE=BC
于是
MC=AC/AB*BC——————（1）
又因为
NC平行AD
于是有
NC/AD=BC/AB
于是
NC=BC/AB*AD
又因为
AD=AC
于是
NC=BC/AB*AC——————（2）
由（1）（2）
MC=NC
而角MCN=60°
于是△MCN是等边△
于是角MNC=角NCB=60°
于是MN平行AB

Answer 3

这是一道非常经典的题
∵△ACD和△BCE都是等边三角形
∵AC=CD，CB=CE，∠ACE=∠BCE=120°
∴△ACE≌△DCB
∴∠CDN=∠CAM
∵AC=CD，∠ACM=∠DCN=60°
∴△ACM≌△DCN
∴∠CM=CN
∵∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠MNC=60°
∴∠MNC=∠BCE=60°
∴BN‖AB