证明：当x>0时，ln(1+x)>x-1/2x^2
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设f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2，显然有f(0)=0，下面证明当x>0时，f(x)>f(0)=0
即只要能证明f(x)在x>0时为增函数即可
f
'(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0
当x>0时
因此f(x)在x>0时为增函数，即f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x+1/2x^2>0，则
ln(1+x)>x-1/2x^2
即只要能证明f(x)在x>0时为增函数即可
f
'(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0
当x>0时
因此f(x)在x>0时为增函数，即f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x+1/2x^2>0，则
ln(1+x)>x-1/2x^2
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