Question

设N阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<N,证明A与B有公共的特征值,有公共的特征向量

设N阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<N,证明A与B有公共的特征值,有公共的特征向量

Answer 1

（复制自http://zhidao.baidu.com/question/149727470.html，我以前做的）

1. rank(A)<=rank(A)+rank(B)<n，所以A不是满秩的，所以存在x≠0使得Ax=0，即0是A的一个特征值。同理可证0也是B的一个特征值。所以A与B有公共的特征值0。

2. 只需证明存在x≠0使得Ax=0且Bx=0，则x同时是A与B对应于特征值0的特征向量。
方法一：Ker(A)={x≠0|Ax=0}和Ker(B)={x≠0|Bx=0}都是R^n的线性子空间，且dimKer(A)=n-rank(A),dimKer(B)=n-rank(B)，所以dimKer(A)+dimKer(B)=2n-(rank(A)+rank(B))>2n-n=n=dimR^n。所以dim(Ker(A)∩Ker(B))>=dimKer(A)+dimKer(B)-dimR^n>0。再任取Ker(A)∩Ker(B)中的非零元x即可。
方法二：Ax=0且Bx=0当且仅当(A|B)x=0，其中(A|B)为A和B拼成的矩阵。注意到A的列向量空间中的一组基和B的列向量空间中的一组基的并可以组成(A|B)的列向量空间中的一组生成元（未必是基），所以(A|B)的列秩不大于A和B的列秩的和。从而rank(A|B)<=rank(A)+rank(B)<n，得dimKer(A|B)=n-rank(A|B)>0。再任取Ker(A|B)中的非零元x即可。