Question

三角函数的几何定义

Answer 1

Answer 2

正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示．这三种线段都是与单位圆有关的有向线段．一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就被看作带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数．学生将来学习解析几何时，上述“数轴”可推广为与任何方向(即不限于水平和垂直方向)的有向线段平行的任一“有向直线”．
与单位圆有关的某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线(分别叫做正弦线、余弦线、正切线……)．三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．为此可以这样规定：凡含原点的线段，均以原点为起点；不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点．教科书中只介绍了正弦线、余弦线、正切线，其他三角函数线不宜向学生介绍．只作课外阅读。
在学习这一部分内容时，一定要紧密结合教科书中的图4－12，并强调：正弦线、正切线的方向与y轴一致，向上为正，向下为负，它们的数值分别等于角α的正弦值、正切值；余弦线的方向与x轴一致，向右为正，向左为负，它的数值等于角α的余弦值．这里的关键是讲清以下三个式子的全部含义：

此外，作正切线时，必须使AT(这里起点A一定是单位圆与x轴的非负半轴的交点)在点A处与单位圆相切，终点T是切线与角α的终边的交点．
二、要点解读
(1)三角函数线
虽然在初中你已经在使用了正弦、余弦、正切等三角函数的名称，但是你未必了解这些名称的来历，也许还有点纳闷，为什么用这些与圆密切相关的函数名称？其实这些函数名称，是从几何上来的，因为各三角函数值，都有它的几何意义．
对已经给定的角 (暂时先考虑为第一象限角)，在它的终边上取点P(x,y),使OP=1，以OP为半径r作一个圆(习惯上，称半径等于单位长度1的圆为单位圆，见图4-22)，交x轴的正半轴于点
A，过点A作单位圆的切线，与OP的延长线
交于点T．据三角函数的定义
MP=y= sin,
BP=OM=x= cos；
又因为Rt⊿OAT, Rt⊿OMP相似，所以
=tan，
即 tan=AT．
上面讨论表明，角 三角函数值，是这个角在一个以顶点为圆心的单位圆上所截取的一些线段的长：
sin=MP, cos=(BP=)OM, tan=AT．
下面我们来看一看，这些线段表示什么．MP是过P、与角 始边垂直的弦(sine)，垂直又称正交，因此MP是正交弦，简单一点，就命名线段MP为正弦线；AT是与角 的始边垂直(正交)的切线(tangent)，因此命名它为正切线；至于BP=OM则是对的余角作同样解释的结果，因此线段名称应为“余角正交弦”，也简化一下，就称为余弦线(cosine)．因为三角函数值正好是这些命名线段的长度，顺理成章地就成为相应函数的名称了，同时简化的英文名称也就被采用为函数符号．以后我们把正弦线MP、正切线AT、余弦线BP，通称三角函数线．因为OM=BP，在习惯上，是把线段OM称作余弦线的，这虽然在几何上有点说不通，但既然习惯如此,你以后也只能认可了．
(2)有向线段
当 为第二、第三或第四象限角时，角也能在单位圆上割取三条线段，如图4-22 所示，第二象限角也割取了线段
MP、OM 、AT．在这里需要注意一点，角
角的切线，总是在单位圆周与角的始边的交
点A处引出的，因此此时的正切线是在角终
边的反向延长线上．当角到了第二、三、四象
限，三角函数值可以是负的，例如图4-23中
的cos <0，而线段长度总是非负的，例如
cos=OM，如何来解决这个矛盾呢？
在这里我们引进一种带有方向的有向线段，并规定如果线段取正方向，则它表示的数量就是它的长度，如果取负方向，则它表示的数量是一个绝对值为长度的负数．解决“三角函数值可以正负、三角函数线长度只能是正”这对矛盾的出路，正在于这种有向线段．我们只要认为所谓正弦线、余弦线等三角函数线都是有向线段就行了．
具体地说，我们规定所有三角函数线都是有向线段；正弦线从M到P，正切线从A到T， (见图4-22,图4-23)，正向向上；余弦线从O到M，正向向右．
按这样的规定，再来看图4-23．在那里角是第二象限角，sin>0, cos<0, tan<0，正弦线MP向上是正的，正切线AT向下是负的，余弦线OM向左是负的．三角函数值的符号与三角函数线的数量，就完全统一了．
注意，上面讨论中，我们都默认了所论的角不是界限角．如果角是界限角情况会怎样，你不妨对其作一番考察．
最后，要说一下你今后经常有用的事实．从图4-22和图4-23可见，任何一个角，其终边与单位圆的交点P的坐标，总是P(cos,sin)．
阅读材料(余切、正割和余割的几何意义)
在三角函数定义时，除了正弦、余弦和正切外，还有余切、正割和余割函数，它们的几何意义如何？其实由角及其余角的始终边，在单位圆上割取的线段，共有六条，除了正文中已经提到的AP(正弦线),BP(余弦线),AT(正切线)外，还有余角的切线AT 、切线在OP
延长线上割取的线段OT、OT (见图4-24)，
它们也是有向线段，依次称为余切线、正割线
和余割线．余切cot、正切sec、余割csc的
的几何意义，正好是余切线、正割线和余割线．
你可以自己论证一下，在适当规定了这些有向
线段的正向后，cot、sec、csc的函数值与
余切线、正割线和余割线的值是一致的．