Question

微分方程稳定性

Answer 1

稳定性。稳定性是一个局部的性质，意思是说，假如你想要求“方程的解x(t)永远位于原点附近的某一个大球以内”，你总能找到一个更小的球，只要初值x0位于这个小球以内，方程的解就能满足你的要求。可是，如果你取不同的初始时间t0，这个小球也可能变化。比如，随着t0趋向于无穷大，小球趋向于无穷小的球，这个是可以的。
一致性。一致是针对时间的。“一致稳定”比“稳定”就多了一条，这个小球不能随t0变化。也就是说，无论t0取什么值，只要大球给定，小球就是能求出来的，且于t0无关。
渐进性。渐进简单理解就是要收敛到原点，或者说，t趋向于无穷时，x(t)趋向于零。仅仅稳定是没法保证x(t)趋向于零的。即使我们知道了x(t)收敛到零，收敛的速度（用epsilon-delta可以说清楚什么叫收敛的速度，就不细讲了）可能随初值的初始时间t0而变化的。而如果收敛的速度与t0无关，那么这样的收敛也是“一致”的。

动力系统的运动稳定性的理论，是由俄国数学家 . .李亚普诺夫于19世纪90年代所开创它是研究扰动性因素对运动系统的影响。这种扰动性因素，可以是瞬间的作用，引起系统的初始状态的变化；也可以是持续地起作用，而引起系统本身的变化。通常着重考虑的是前者。微小的扰动对于不同的系统运动的影响是不一样的。对有些运动，影响不显著，受扰动的运动与未受扰动的运动相差很小。而对有些运动，扰动的影响可能很显著，以致无论扰动如何小，受扰动的运动与未受扰动的运动随时间的推移可能相差很大。简略地说，属于前者的运动是稳定的，属于后一类型的运动是不稳定的。运动稳定性理论就是要建立一些准则，用来判断所考虑的运动是稳定的或不稳定的。

Answer 2

动力系统的运动稳定性的理论，是由俄国数学家 . .李亚普诺夫于19世纪90年代所开创它是研究扰动性因素对运动系统的影响。这种扰动性因素，可以是瞬间的作用，引起系统的初始状态的变化；也可以是持续地起作用，而引起系统本身的变化。通常着重考虑的是前者。微小的扰动对于不同的系统运动的影响是不一样的。对有些运动，影响不显著，受扰动的运动与未受扰动的运动相差很小。而对有些运动，扰动的影响可能很显著，以致无论扰动如何小，受扰动的运动与未受扰动的运动随时间的推移可能相差很大。简略地说，属于前者的运动是稳定的，属于后一类型的运动是不稳定的。运动稳定性理论就是要建立一些准则，用来判断所考虑的运动是稳定的或不稳定的。

基本内容
李亚普诺夫创立的运动稳定性理论，不仅在力学、控制、工程及星际航行等科学尖端技术领域有其广泛深刻的应用，而且在现代物理、生物、化学等自然科学中得到了进一步的发展，同时它亦逐渐发展成为常微分方程学科本身许多课题理论研究的有力工具。李亚普诺夫稳定性理论中的一个核心问题，就是李亚普诺夫函数的构造问题。30多年来人们作了不少的努力，但对于一般非线性系统，还没有得到通用而有效的构造方法。虽然如此，针对实际问题中出现的各种非线性系统，通过定性分析并根据实际情况进行具体分析，从而构造出恰当的李亚普诺夫函数，还是取得了丰富的成果。