Question

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f″(x)是y=f...

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f″(x)是y=f(x)的导函数y=f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’;任何三次函数都有对称中心;且对称中心就是‘拐点’”.请你根据这一发现判断下列命题: (1)任意三次函数都关于点(-b3a,f(-b3a))对称; (2)存在三次函数,f'(x)=0有实数解x0,(x0,f(x0))点为函数y=f(x)的对称中心; (3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心; (4)若函数g(x)=13x3-12x2-512,则g(12013)+g(22013)+g(32013)+…+g(20122013)=-1006 其中正确命题的序号为( )A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)

Answer 1

(1)由题意,f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),∴f″(x)=6ax+2b(a≠0),
∴令f″(x)=0,可得x=-
b
3a
,∴任意三次函数都关于点(-
b
3a
,f(-
b
3a
))对称,故(1)正确;
(2)由(1)知,x0=-
b
3a
,代入f'(x)=0,可得3a×
b2
9a2
-2b×
b
3a
+c=0,∴b2=3ac,此时,存在三次函数,f'(x)=0有实数解x0,(x0,f(x0))点为函数y=f(x)的对称中心,故(2)正确;
(3)由(1)知,三次函数有且只有一个对称中心,即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心,故(3)不正确;
(4)∵g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,∴g′(x)=x2-x
∴g″(x)=2x-1
令g″(x)=0,可得x=
1
2
,∴g(1)=-
1
2
∴g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的对称中心为(
1
2
,-
1
2
)
∴g(x)+g(1-x)=-1
∴g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=-1006,即(4)正确,
故选A.