Question

问题:高中数学问题：已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性。

问题:高中数学问题：已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性。(2)设a＜-1，如果对任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。—要详解！！ 在线等！！高分 谢谢~

Answer 1

（1）f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/
x+2ax
当a≥0时，f’(x)
>0,则f(x)单调递增
当a≤-1时，f’(x)
<0，则f(x)单调递减
当-1<a<0时：
设g(x)=xf’(x)=2ax^2+a+1,
∵x>0;∴g(x)和f’(x)同号。
此时当x≥√(-(a+1)/2a)时，g(x)≥0，则f’(x)≥0，那么f(x)单调递增
此时当0<x<√(-(a+1)/2a)时，g(x)<0，则f’(x)<0，那么f(x)单调递减.
（2）-
f’(x)=
-(a+1)/
x-2ax≥2√(2a(a+1))
∵a≤-2
∴2√(2a(a+1))
≥4
又∵a≤-2
∴f’(x)<0;
-
f’(x)>0;
-
f’(x)=|
f’(x)|
从而得到：|
f’(x)|
≥4
由拉格朗日中值定理得到：
在（x1,x2）之间存在一点ξ，成立式子：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f’(ξ)|
因为任意x有|
f’(x)|
≥4，那么就有|
f’(ξ)|
≥4
所以得到：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≥4
也就得证：
|f(x1)-f(x2)|
≥4|x1-x2|；