Question

数学好的，请用抽屉原理解答下列各题。

1.证明从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 2.证明：在任取得5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。 3.某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候，请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两个人握手的次数一样多。 问题补充： 拜托了，请在十分钟之类有正确答案

Answer 1

1.在1-20中有8个2
3
5
7
11
13
17
19八个质数，假设有8个抽屉分别存放有上述8个质数中的任意1个，无论我们在另外的12个数任取1个，必然与上述8个中的其中1个是倍数关系。事实上，此题不够严密（不用取11个，9个就足够）。
2.任何一个自然数除以3的余数都不外乎以下三种情况：余数是0、1或2。现在我们有5个数，如果它们除以3的余数相同，不用说其中的任意三个的和是3的倍数；如果它们其中的4个余数相同，相同余数的4个中任意3个的和是3的倍数；如果它们中有三个余数相同，这三个的和是3的倍数。如果它们中只有两个的余数相同，那么它们的存在情况是：三个抽屉中有两个抽屉里边有两个数，一个抽屉里边有1个数。在时三个抽屉里边都有数，各取一个数得3个，这三个数的和是3的倍数。
3.假设在n位校友彼此都不认识，也就是没有人握手。这时，n位校友中握手的次数一样多的人有n位（前提n必须大于2）。如果只有2人认识，显然握手的就是相互认识的2人，他们无论握手多少次，但是两人握手的次数肯定一样多。如果有3人认识，要么三人相互握手，则3大于2;要么其中的一人分别与另外两个人握，这种情况另外两人握手的次数一样多；如果3人相互握手，则三人一样多;……依此类推