Question

如何求通解？

Answer 1

通解？高次方程还是微分的求解？
x''+9x=tsin3t
r^2+9=0
r=±3i
奇次方程通解为x=C1*sin3t+C2*cos3t,C1,C2为任意实数
令特解x*=t[(At+B)sin3t+(Ct+D)cos3t]
x*'=(2At+B)sin3t+(2Ct+D)cos3t+3(At^2+Bt)cos3t-3(Ct^2+Dt)cos3t
x*''=………
代入x''+9x=tsin3t得
A=D=0
B=1/36,C=-1/12
所以x''+9x=tsin3t通解为x=C1*sin3t+C2*cos3t+t/36*sin3t-t^2/12*cos3t,C1,C2为任意实数
t^2x''-3tx'-8x=tlnt
这是欧拉方程
设t=e^u,则u=lnt
则D(D-1)x-3Dx-8x=ue^u
(D^2)x-4Dx-8x=ue^u
即dx^2/du^2-4dx/du-8x=ue^u
r^2-4r-8=0
解得
r=2±2√3
奇次方程通解为x=C1*e^[(2+2√3)u]+C2*e^[(2-2√3)u],C1,C2为任意实数
令特解x*=(Au+B)e^u
代入非奇次方程可得
A=-1/11,B=2/121
所以D(D-1)x-3Dx-8x=ue^u通解为x=C1*e^[(2+2√3)u]+C2*e^[(2-2√3)u]+(2/121-u/11)e^u
把u=lnt代入通解，可得原方程得通解为
x=C1*e^[(2+2√3)lnt]+C2*e^[(2-2√3)lnt]+(2/121-lnt/11)e^lnt
x=C1*t^(2+2√3)+C2*t^(2-2√3)+t/11*(2/11-lnt),C1,C2为任意实数