已知a,b,c,d都是4个正整数，且a²+b²=c²+d²，证明a+b+c+d为合数
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反证法。设a+b+c+d为质数
∵a²+b²=c²+d²
不妨设a≥c,d≥b
∴(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
分类讨论：
1.若a=c，则b=d，
那么a+b+c+d=2(a+b)是合数
2.若a≠c，则b≠d。
此时，若a+c不整除d-b，则
存在素数p，使得p整除a+c
而p不整除d-b
那么，p整除b+d，故a+b+c+d
为合数，矛盾
故a+c整除d-b
同理，d+b整除a-c
那么，a+c≤d-b<d+b≤a-c
矛盾。
故a+b+c+d为合数
∵a²+b²=c²+d²
不妨设a≥c,d≥b
∴(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
分类讨论：
1.若a=c，则b=d，
那么a+b+c+d=2(a+b)是合数
2.若a≠c，则b≠d。
此时，若a+c不整除d-b，则
存在素数p，使得p整除a+c
而p不整除d-b
那么，p整除b+d，故a+b+c+d
为合数，矛盾
故a+c整除d-b
同理，d+b整除a-c
那么，a+c≤d-b<d+b≤a-c
矛盾。
故a+b+c+d为合数
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