Question

（1）求函数y=x+根号(4-x^2)的值域（2）求函数y=x根号(1-x^2)的最大值

（1）求函数y=x+根号(4-x^2)的值域 （2）求函数y=x根号(1-x^2)的最大值

Answer 1

1.函数定义域是
-2≤x≤2,
可设
x＝2sinθ,
θ∈[-π/2,π/2],
则：√(4-x^2)＝2cosθ
(不带绝对值，因为
θ∈[-π/2,π/2])
原函数即为
y＝2sinθ
+
2cosθ＝2(sinθ+cosθ)＝2√2·sin(θ+π/4)
因-π/4≤θ+π/4≤3π/4
，故
-√2/2
≤sin(θ+π/4)≤sin(π/2)＝1
于是y
的值域是
[-2
，2√2]2.y=x√(1-x^2)
定义域是[-1，1]
因为是奇函数，所以研究[0，1]的部分即可，
因此x为非负数，所以可以直接乘到根号里，
所以y=√(x^2-x^4)=√[-(x^2-1/2)^2+1/4]
所以当x=√2/2时，函数取得最大值1/2
所以函数y=x√(1-x^2)的最大值是1/2
补充：
2.y=x√(1-x^2)
定义域
是[-1，1]
因为是
奇函数
，所以研究[0，1]的部分即可，
因此x为
非负数
，所以可以直接乘到
根号
里，
所以y=√(x^2-x^4)=√[-(x^2-1/2)^2+1/4]
所以当x=√2/2时，函数取得最大值1/2
所以函数y=x√(1-x^2)的最大值是1/2
补充：
1.
函数定义域
是-2≤x≤2,
可设x＝2sinθ,
θ∈[-π/2,π/2],
则：√(4-x^2)＝2cosθ
(不带
绝对值
，因为
θ∈[-π/2,π/2])
原函数即为
y＝2sinθ
+
2cosθ＝2(sinθ+cosθ)＝2√2·sin(θ+π/4)
因-π/4≤θ+π/4≤3π/4
故-√2/2
≤sin(θ+π/4)≤sin(π/2)＝1
于是y
的
值域
是[-2
，2√2]
（PS：上面格式有点小问题）