Question

定积分比较大小？

题目如图所示，答案是A,S2>S1好理解，但怎样用数学怎明2(b-a)介于两者之间呢？
请高手指教！

Answer 1

利用图容易看明白，利用凹凸性

Answer 2

这得利用凹凸函数证明
对于二阶可导的g函数，如果g''(x)<0,则g(x)是一个凸函数， g(x)= g(a*s +(1-s)b) <sg(a)+(1-s)g(b)=s +3(1-s) = 3-2s,（ 其中x = as +(1-s)b, s= (b-x)/(b-a), 0<=s<=1)
ds = (b-x)/(b-a) = -1/(b-a) dx , dx = -(b-a)ds=(a-b)ds

那么∫g(x)dx |x=a,b < (a-b)∫3-2sds |s=1,0 = (a-b) *(3s-s^2)|1,0 =2(b-a)

同理可以证明∫f(x)dx |x=a,b > 2(b-a)

追问

g(a*s +(1-s)b) <sg(a)+(1-s)g(b)
这怎么来的？

追答

凸函数的性质啊

追问

怎么证明内呢？

怎么证明内呢？

追答

这个不用证明的，这是凸函数性质定理，可以直接用的

追问

凸函数什么性质啊，麻烦了

凸函数什么性质啊，麻烦了