Question

a•b+a•c=0

平面内有四个点O、A、B、C，记 OA = a ， OB = b ， OC = c ，向量 a 、 b 、 c 满足 a + b +λ c =0，其中λ为实数． （1）若点C是线段AB的中点，求λ的值； （2）当λ=1时，且 a • b = b • c = c • a =-1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）∵点C是线段AB的中点，∴ OC ＝ 1 2 ( OA + OB )，∴ a + b −2 c ＝ 0 ，又 a + b +λ c ＝ 0 ，∴λ=-2． （2）当λ=1时，则 a + b + c ＝ 0 ，∴ b ＝−( a + c )． ∵ a • b ＝ b • c ，∴ b •( a − c )＝0，∴−( a + c )•( a − c )＝0，∴ a 2＝ c 2，∴| a |＝| c |． 同理| b |＝| c |． 由 a • b ＝ b • c ＝ c • a ＝−1得＜ a ， b ＞＝＜ b ， c ＞=＜ c ， a ＞， ∴△OAB≌△OBC≌OCA，∴AB=BC=CA． ∴△ABC是等边三角形．