Question

已知公差不为0的等差数列{an}的首项为4，设数列的前n项和为Sn，且1a1，1...

已知公差不为0的等差数列{an}的首项为4，设数列的前n项和为Sn，且1a1，1a2，1a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）记An=1S1+1S2+1S3+…+1Sn，Bn=1a1+1a2+1a22+…+1a2n-1，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．

Answer 1

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由(1a2)2=1a1•1a4，
得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=4，
所以an=4n，Sn=4n+4n(n-1)2=2n（n+1）；
（2）∵1Sn=12(1n-1n+1)
∴An=1S1+1S2+…+1Sn=12(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=12(1-1n+1)．
又a2n-1=4•2n-1=2n+1，
∴Bn=1a1+1a2+…+1a2n-1=14•1-(12)n1-12=12(1-12n)．
当n≥2时，2n=C0n+C1n+…+Cnn＞n+1，
即1-1n+1＜1-12n．
所以An＜Bn．