Question

高一数学圆的方程题,急!!!

已知关于x,y的方程C:x²+y²-2x-4y+m=0 (1)若方程C表示圆，求m的取值范围 (2)若圆C与圆x²+y²-8x-12y+36=0外切,求m的值 (3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=4根号5/5，求m的值

Answer 1

易求得CD中点E的轨迹为圆，圆心P为(2,2)，半径为2，方程为:
(x-2)^2+(y-2)^2=2
则AB为圆P的切线，切点为E
根据圆幂定理
AE^2=AP^2-r^2=(a-2)^2+2^2-2^2=(a-2)^2
BE^2=BP^2-r^2=(b-2)^2+2^2-2^2=(b-2)^2
AB^2=a^2+b^2
而AB=AE+BE
故a^2+b^2=(a-2+b-2)^2
2ab-8(a+b)+16=0
(a-4)*(b-4)=ab-4(a+b)+16=8
设AB中点M坐标为(x,y)
故x=a/2，y=b/2
由(1)问可得(2x-4)(2y-4)=8
故M的轨迹方程为(x-2)(y-2)=2
估计是求ABO的面积吧，O为原点
S△ABO=ab/2
由2ab-8(a+b)+16=0可得
ab/2=2(a+b)-4≥4√ab-4
ab-8√ab+8≥0
(√ab-4)^2≥8
√ab-4≥2√2
ab≥24+16√2
故S△ABO≥12+8√2
(其实取得极值的时候就是a=b=4+2√2，可以代进去
验证一下)
实际本题可以转化为，圆(x-2)^2+(y-2)^2=2为△AOB的内切圆，求AB中点轨迹。但对比起来，原题更为简单一些。
第二题
若m≠0
Kl1=m，Kl2=-1/m，故L1⊥L2;
L1恒过过原点O，
L2可以化为x-2y+(m+2)(y-1)=0，即L2恒过x-2y=0与y-1=0的交点A，x-2y=0与y-1=0的交点A坐标为(2，1)，AO=√5，故AO为恒值，故P的轨迹为以AO为直径的圆，圆心B的坐标为(1，1/2)，轨迹方程为(x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4
若m=0
L1为y=0,L2为x=2，交点P坐标为(2，0),也在上述轨迹中
综上，P的轨迹方程为(x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4
L1与圆P的另一个交点P1就是原点，为(0,0)，L2与圆P的另一个交点P2就是A，为(2，1)
显然，当PB⊥P1P2时，S△PP1P2最大，此时PB=P1P2/2
故S△PP1P2最大值=PB*P1P2/2=AO^2/4=5/4
P1P2即AO的直线方程为x-2y=0，故直线PB的斜率为-2，直线方程为y-1/2=-2(x-1)
联解y-1/2=-2(x-1)与(x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4，得
x-1=±1/2
故x=3/2，y=-1/2，此时m=y/x=-1/3
或x=1/2，y=3/2，此时m=3
总的来说，两道题
如果硬算，是非常麻烦的，用几何法来解决，虽然话要啰嗦一些，但是运算极小，而且
很清晰。