设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35(Ⅰ)...
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标....
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35 (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.
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解:(Ⅰ)根据题意,椭圆过点(0,4),
将(0,4)代入C的方程得16b2=1,即b=4
又e=ca=35得c2a2=a2-b2a2=925;
即1-16a2=925,∴a=5
∴C的方程为x225+y216=1
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,
即x2-3x-8=0,解得x1=3-412,x2=3+412,
∴AB的中点坐标.x=x1+x22=32,
.y=y1+y22=25(x1+x2-6)=-65,
即中点为(32,-65).
将(0,4)代入C的方程得16b2=1,即b=4
又e=ca=35得c2a2=a2-b2a2=925;
即1-16a2=925,∴a=5
∴C的方程为x225+y216=1
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,
即x2-3x-8=0,解得x1=3-412,x2=3+412,
∴AB的中点坐标.x=x1+x22=32,
.y=y1+y22=25(x1+x2-6)=-65,
即中点为(32,-65).
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