Question

已知二次函数f(x)的二次项的系数为a，不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)...

已知二次函数f(x)的二次项的系数为a，不等式f(x)＞-2x的解集为(1，3) (Ⅰ)若函数y=f(x)+6a有且只有一个零点，求f(x)的解析式; (Ⅱ)记f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的最小值.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)因为f(x)＞-2x的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，a＜0.
于是f(x)=ax2-(2+4a)x+3a.
因为函数y=f(x)+6a有且只有一个零点，∴方程ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根.
∴△=[-(2+4a)]2-4a•9a=0.即5a2-4a-1=0，解得a=1，或a=-
1
5
.
由于a＜0，所以a=-
1
5
，∴f(x)=-
1
5
x2-
6
5
x-
3
5
.
(Ⅱ)因为f(x)=ax2-(2+4a)x+3a且a＜0，
所以g(a)=
4a×3a-(2+4a)2
4a
=-
a2+4a+1
a
=-a+
1
-a
-4.
∵a＜0，所以-a＞0，∴g(a)=-a+
1
-a
-4≥2-4=-2，
当且仅当-a=
1
-a
，即a=-1时取等号.
所以g(a)的最小值为-2.