Question

已知抛物线经过点A（0,3），B（4,1），C（3，0）。

(1)求抛物线解析式； (2)连接AC,BC,AB，求tan∠BAC； (3)点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥

Answer 1

(1)、将
(
0,3）代入
y
=
ax^2
+
bx
+
c，3
=
0
+
0
+
c，c
=
3；
将
(
4,1
)、(
3,0
)
分别代入
y
=
ax^2
+
bx
+
3，
1
=
16a
+
4b
+
3，0
=
9a
+
3b
+
3，解得：a
=
1/2，b
=
-5/2，
抛物线解析式为
y
=
x^2/2
-
5x/2
+
3；
(2)、AC斜率为
(
3-0
)/(
0-3
)
=
-1，BC斜率为
(
4-3
)/(
1-0
)
=
1，
∴
AC⊥BC，△ABC
是C为直角的直角三角形；
tan∠BAC
=
BC/AC
= √2/(3√2)
=
1/3，AC
=
3BC；
(3)
如图：
△APG
与
△AFP
共角A，都是直角三角形，∴
△APG
≌ △AFP；
因此，当
AF
=
3FP，或
FP
=
3AF
时， △ABC ≌ △AFP ≌ △APG；
即点P
y
-
3
=
3x
或
y
-
3
=
x/3；分别代入函数式：
3x
+
3
=
x^2/2
-
5x/2
+
3，x^2
-
11x
=
0，x
=
11，y
=
36；
x/3
+
3
= x^2/2
-
5x/2
+
3， 3x^2
-
17x
=
0，x
=
17/3，y
=
44/9；
点P
有2点，坐标分别为
(
11，36
)、(
17/3，44/9
)
。