Question

利用极限存在准则证明！高手来帮下……

数列 X（1）=2，X(n+1）=(1/2)*(X(n)+1/X(n))的极限存在！【X后的小括号内是数列序号】 刚学微积分啊！！应该是要用 “单调有界收敛准则” 这个准则来证明的！！ 我参照了书本的例题，搞了半天还是没有头绪！！！！ 希望能在网上 得到个“详细”的解答过程！！！要详细啊……谢谢了！

Answer 1

由基本不等式
X(n+1)=(1/2)*(X(n)+1/X(n))>=1
所以X(n)有下界
由上面得到的X(n)>=1,有X(n)>=1/X(n)
X(n+1)=(1/2)*(X(n)+1/X(n))<=(1/2)*(X(n)+X(n))=X(n)
所以X(n)单调递减
由柯西准则：单调有界必有极限，所以X(n)的极限存在