Question

高数 设连续函数f(x)在(-∞，+∞) 内满足f(x)=f(x-π)+sinx,且当x属于[0，

高数 设连续函数f(x)在(-∞，+∞) 内满足f(x)=f(x-π)+sinx,且当x属于[0，π)时，f(x)=x,求∫(π 3π)f(x) 请问我这样做为什么有问题 谢谢

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

f(x)=f(x-π)+sinx
f(x+π)=f(x-π+π)+sin(x+π)=f(x)-sinx
f(x+2π)=f(x-π+2π)+sin(x+2π)
=f(x+π)+sinx
=f(x)-sinx+sinx
=f(x)
∫[0：3π]f(x)dx
=∫[0：π]f(x)dx+∫[0：π][f(x)-sinx]dx+∫[0：π]f(x)dx
=2∫[0：π]f(x)dx+∫[0：π][f(x)-sinx]dx
=2∫[0：π]xdx+∫[0：π](x-sinx)dx
=x²|[0：π]+(½x²+cosx)|[0：π]
=π²-0+[(½π²+cosπ)-(½·0²+cos0)]
=π²+½π²-1-0-1
=(3/2)π²
-2
应对[0，π]、[π，2π]、[2π，3π]上分别求出与[0，π]上f(x)的关系式，不能直接将区间合并。