Question

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE平行AC交AB于点E，PF平行AB交BC于D.交AC于点F.若点P在BC边上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB,请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在三角形内（如图二）、△ABC外（如图三）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明。若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。

Answer 1

PD+PE+PF大于AB,

Answer 2

解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，
∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠EMP=∠B，
∴∠EMP=∠EPM，
∴PE=EM，
∴PE+PF=AE+EM=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD．
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF-PD=AB．

Answer 3

解：图2结论：PD+PE+PF=AB．
证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，
∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，
∵AB=AC，
∴∠EMP=∠B，
∴∠EMP=∠EPM，
∴PE=EM，
∴PE+PF=AE+EM=AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD．
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，
即PD+PE+PF=AB．
图3结论：PE+PF-PD=AB．