Question

一个三位数能被7整除,如果交换百位和十位依然可以被7整除,这个三位数是？

Answer 1

能被7整除的三位数有以下特点：
这个数的：个位+3×十位+2×百位=7的倍数
如：（168）=1×2+6×3+8=2+18+8=28是7的倍数
设三位数是ABC是7的倍数
则2A+3B+C是7的倍数
百位数字与十位数字交换后，数为BAC，则它也是7的倍数
故2B+3A+C也是7的倍数
即(2A+3B+C)-(2B+3A+C)=也是7的倍数
不妨设(2A+3B+C)-(2B+3A+C)=7k①
k是整数=0，±1，±2，...
化简①左边：-A+B=7K
即B-A=7K②
由于B和A都是一位数字而且不能同时为0，即0≤B、A≤9
0-9≤B-A≤9-0
-9≤B-A≤9
所以B-A的值只能是-7、0或7
B和A的值只能取以下5+9组：
B=0，A=7
B=1，A=8
B=2，A=9
B=8，A=1
B=9，A=2
B=A=1~9
分别代入2A+3B+C=7的倍数：
B=0，A=7，14+C=7m，解得C=7
B=1，A=8，16+3+C=7m，解得C=2或9
B=2，A=9，18+6+C=7m，解得C=4
B=8，A=1，2+24+C=7m，解得C=2或9
B=9，A=2，4+27+C=7m，解得C=4
A=B=1，2+3+C=7m，解得C=2或9
A=B=2，4+6+C=7m，解得C=4
A=B=3，6+9+C=7m，解得C=6
A=B=4，8+12+C=7m，解得C=1或8
A=B=5，10+15+C=7m，解得C=3
A=B=6，12+18+C=7m，解得C=5
A=B=7，14+21+C=7m，解得C=7或0
A=B=8，16+24+C=7m，解得C=2或9
A=B=9，18+27+C=7m，解得C=4
这个三位数一共有以下20个解：
707.812.819.924.182.189.294.112119.224.336.441.448.553.665.770.777.882.889.994
再没有其他符合条件的三位数了。

Answer 2

777可以。