Question

f(x+1/x)=（x平方+1)/x平方+1/x？

如图令t=(x+1)/x x=1/（t-1） 解出来是t的平方-t+1 为什么直接把x带进去了，而不是带进1/(t-1）

Answer 1

正确，

方法如下，请作参考：

Answer 2

因为你对换元法，以及函数自变量的概念的理解不足。
首先，假定y=f（*）是一个函数，*是自变量，y是因变量。那么我们把*表示成其他字母或符号对这个函数没有影响，不管*是x、z、t、k、m、n等，除非一些容易引起误解的有专门规定用途的字母。也就是自变量的表示符号没有影响，这一点你要懂才行。
其次，y=f（*）=具体表达式。这个具体表达式，一定要是关于*的表达式，也就是包含*的式子。不管是哪种函数，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数……等等，具体表达式里面都要有自变量*。（高中阶段学的一元函数，所以一般只有一个自变量。）
现在来看，你用t=x/（x+1）进行换元，相当于是x/（x+1）=*=t，对吧？
（相当于要把括号里面当成一个整体，因为x/（x+1）是自变量。）
也就是自变量已经变成了t，你看看换元以后的具体表达式，是不是包含t的式子。其实你已经得到了函数表达式。
只是出于习惯或者限于题目使用的变量符号，我们要把t换成x，也就是x就是此时的*（自变量）。

Answer 3

因为在同一个问题中 f(x), f(t) 可表示同一函数， 即函数自变量可以更换。
所以最后结果将 t 更换为 x 就可了。

Answer 4

f(1 +1/x) 

= (x^2+1)/x^2 +1/x

分子分母同时除x^2

= (1+1/x^2)/(1/x^2) +1/x

考虑 (1+1/x)^2 =1 +2/x +1/x^2

= [(1+1/x)^2 - 2/x]/[(1 +1/x)^2 -1 -2/x ]  +(1+1/x) -1

= [(1+1/x)^2 - 2(1+1/x) +2 ]/[(1 +1/x)^2 -2(1+1/x) +1 ]  +(1+1/x) -1

令 u=1+1/x

f(u) =[u^2 - 2u +2 ]/[u^2 -2u +1 ]  +u -1

带入 u=x

f(x) =[x^2 - 2x +2 ]/[x^2 -2x +1 ]  +x -1

Answer 5

因为要消去x.
(x+1)/x=t,x+1=tx,1=(t-1)x,x=1/(t-1),
所以f(t)=[1/(t-1)^2+1]/[1/(t-1)^2]+t-1
=(t-1)^2+t
=t^2-t+1.
可以吗？