Question

证明：设f(x)在x=0处可导，lim(x->0)f(x)/x=1，则f(0)=0

详细的证明过程 如果要用等价无穷小那必须是的lim(x->0)f(x)=0你这么证使用结论推前提，书上好像没有这样的定理或者推论之类 正因为无穷小就是极限等于0，但是题目 并没告诉你f(x)的极限等于0啊

Answer 1

因为极限lim(x->0)f(x)/x=1,所以f(x)和x在0点是等价无穷小,f(x)在x->0时是无穷小,又因为f(x)在x=0可导,所以连续,所以lim(x->0)f(x)=f(0)=0
请你注意,什么是等价无穷小,无穷小就是极限是0,你可以在书上找到的.
是这样子,x在0点的极限是0,所以x是无穷小,又因为lim(x->0)f(x)/x=1,所以f(x)和x是等价无穷小,所以f(x)也是无穷小,所以f(x)的极限是0.

Answer 2

确定是x→∞
？这样极限时0/∞型=0
如果是x→0有：
lim(x→0
)[f(tx)-f
(x)]/x
（0/0
洛必塔法则）
=lim(x→0
)[t*f'(tx)-f'(x)]
=t*f'(0)-f'(0)
（代入x=0）
=(t-1)f&旦法测盒爻谷诧贪超楷#39;(0)