Question

人教版高一数学函数的最大最小值

已知f（x）为二次函数，f（1+x）-f（x）=2x-1，且f（0）=1 （1）：求f（x）解析式 （2）：令g（x）=f（x）+2x-2ax，求g（x）在[1,3]的最小值 第一问我会，不用详细过程，求第二问详细过程（题目无误）

Answer 1

f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2
g(x)=f(x)+2x-2ax=x^2-2ax+1=(x-a)^2+1-a^2
到这一步你可以画一个函数图像出来，是个对称轴为x=a，最低点为1-a^2的抛物线。然后就可以分三种情况来讨论。
1
对称轴在[1,3]内，也就是1≤a≤3
显然，从图里可以看出来，整个函数的最小值就在这个区间里面。
最小值为1-a^2
2
对称轴在[1,3]左边，也就是a≤1
由图像可以知道函数在区间内单调递增，最小值是f(1)=2-2a
3
对称轴在[1,3]右边，也就是a≥3
由图像可以知道函数在区间内单调递增，最小值是f(3)=10-6a

Answer 2

(1)
解析式
为：
f(x)=x²-2x+1
(2)需分类讨论，讨论标准是
对称轴
x=a与区间[1,3]的端点1,3进行比较
解：g(x)=
f(x)+2x-2ax=x²-2x+1+2x-2ax=x²-2ax+1=(x-a)²+1-a²
其对称轴为x=a
当a<1时，g(x)在[1,3]上单调递增，∴g(x)的最小值为g(1)=2-2a
当1≤a≤3时，g(x)在[1,a]递减，在(a,3]上递增，∴g(x)的最小值为g(a)=1-a²
当a>3时，g(x)在[1,3]上单调递减，∴g(x)的最小值为g(3)=10-6a
综上可知：当a<1时，g(x)的最小值=2-2a
当1≤a≤3时，g(x)的最小值1-a²
当a>3时，g(x)的最小值=10-6a
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