Question

三角形垂心的向量性质及证明分别是？

Answer 1

OA^2+BC^2=OB^2+CA^2

OA^2+(OC-OB)^2 = OB^2+(OA-OC)^2

OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2 = OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2

-2OC*OB = -2OA*OC

OC*OB=OA*OC

OC*OB=OC*OA

OC*OB - OC*OA=0

OC*(OB-OA)=0

OC*AB=0

OC丄AB，

同理 OA丄BC，OB丄AC，

所以 O 是三角形垂心 。

三角形的垂心定理：

在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB

由∠FAH=∠FCB得

四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

还可以通过向量证明。