Question

■■■平面几何证明题【有难度】

没法提供图，我尽量描述清楚，请准备好纸和笔，按我描述的画出图来。
一个正方形，从左上角顺时针4个顶点分别是ABCD。连接AC。以点C为端点做一条射线与AB边相交，交点为E。且角ACE=30度。过B点做AC平行线，交CE延长线与F。
问题：求证AE=AF
可以给我要图：QQ453194521

Answer 1

证明：设正方形的边长为a，则AC=根号2乘以a：
在△AEC中，由正弦定理得
AC/sin105°=AE/sin30°…①
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=（根号2/2）*（1/2）+（根号2/2）+（根号3/2）=（根号2+根号3）/4
而AC＝a*根号2 ，sin30°=1/2 带入①，
解得 AE=2a*根号2/（根号3+根号2）=2a*根号2*（根号3-根号2）
下面证明AF，在△AFB中易知角ABF=45°（过FB作延长线交CD延长线于P）
在△AFB中用余弦定理，有
AF²=AB²+FB²-2AB*FBcos45°…②
在△CPF中再用正弦定理，有
FP/sin105°=CP/sin30°…③
又根据已知条件知道CP=a，代入③得
FP=8a*（根号3-根号2）
又根据已知可以求得PB=a*根号2
∴FB=FP-PB=8a*根号3-9a*根号2，代入②得
AF=2a*根号2*（根号3-根号2）
∴AE=AF
得证。

Answer 2

连结BD交AC于O，作FG⊥AC于G
则四边形BOGF是矩形
∴FG＝OB
∵OB＝1/2BD＝1/2AC，FG＝1/2FC
∴AC＝FC
∴∠CFA＝∠CAF＝1/2(180°－∠ACF)＝75°
∵∠AEF＝∠ACE＋∠CAE＝75°
∴∠CFA＝∠AEF
∴AE＝AF