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先用分部积分做到这样
再用换元法来做
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t=e^x，x=lnt，dx=dt/t
∫arcsin e^x/e^x dx=∫arcsint/t^2 dt=∫arcsint d(-1/t)= -∫arcsint d(1/t)
= -arcsint/t+∫dt/[t√(1-t^2)]
再令t=sinψ，dt=cosψ dψ
∫dt/[t√(1-t^2)]=∫cosψ dψ/[sinψcosψ]=∫cscψ dψ=ln|cscψ-cotψ |+C=ln|cscψ-cotψ |+C
故∫arcsin e^x/e^x dx= -arcsint/t+ln|cscψ-cotψ |+C
= -arcsine^x/e^x+ln|1/e^x-√(1-e^2x)/e^x |+C
∫arcsin e^x/e^x dx=∫arcsint/t^2 dt=∫arcsint d(-1/t)= -∫arcsint d(1/t)
= -arcsint/t+∫dt/[t√(1-t^2)]
再令t=sinψ，dt=cosψ dψ
∫dt/[t√(1-t^2)]=∫cosψ dψ/[sinψcosψ]=∫cscψ dψ=ln|cscψ-cotψ |+C=ln|cscψ-cotψ |+C
故∫arcsin e^x/e^x dx= -arcsint/t+ln|cscψ-cotψ |+C
= -arcsine^x/e^x+ln|1/e^x-√(1-e^2x)/e^x |+C
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