Question

向量范数是什么呢?

Answer 1

向量范数一般指范数。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

基本性质

有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：

性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。

性质2（Minkowski定理）：有限维线性空间的所有范数都等价。

性质3（Cauchy收敛原理）：实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。

性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。