Question

等价无穷小在加减中替换的条件是什么？

Answer 1

等价无穷小加减法替换条件是极限的条件一致。

条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

事实上，等价无穷小是由泰勒公式推导而来，所以运用等价无穷小的结论就是，乘除可以整体换，而加减情况不能换，即使可以，那也是凑巧正确，下面给出什么情况下会“凑巧正确”。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。

Answer 2

在数学中，当两个无穷小量具有相同的阶数，并且它们相加或相减后的结果仍然是一个无穷小量时，我们可以将它们替换为等价无穷小。

具体来说，设 $x$ 和 $y$ 是两个无穷小量，则当满足以下条件时，我们可以在加减运算中将其替换为等价无穷小：

1. $x$ 和 $y$ 具有相同的阶数：这表示 $x$ 和 $y$ 的极限为零，并且它们的幂次相同。例如，$x^2$ 和 $y^2$、$x^3$ 和 $y^3$ 等。

2. $x$ 和 $y$ 相加或相减的结果仍然是无穷小：当我们对 $x$ 和 $y$ 进行加法或减法运算后得到的结果仍然具有极限为零的特性。换句话说，如果 $(x+y)$ 或 $(x-y)$ 的极限为零，则可以替换为等价无穷小。

需要注意的是，在使用等价无穷小进行近似计算时，我们要谨慎使用并遵循相关的数学规则和定义。理解和应用等价无穷小的条件是确保近似计算正确性的重要一步。