Question

如何理解条件概率？

Answer 1

我们来看一个例子，一个国家有三个省份，分别是F省，G省和H省，三个省份的土地面积分布是P(F),P(G)和P(H)，每个省份分为城市和农村两个部分，现在国家派下调研员，调研这三个省份的城市化情况，他得到了关于三个省份城市农村数据表格（见表1），并根据表格画出了更形象的占比图（见图1）

 

调研员要计算城市化指标出来，以便评比三个省份的城市化率情况，他利用符号P(城市|省份)记录该省份的城市面积占比，等于城市面积P(省份,城市)除以省份面积P(省份)，例如关于F省份的城市占比计算公式如下：

                                                                P(城市|F)=P(F,城市)/P(F)=50%

同理G省和H省的城市占比计算公式分别为：

                                                                 P(城市|G)=P(G,城市)/P(G)=40%

                                                                 P(城市|H)=P(H,城市)/P(H)=30%

调研员通过计算，得到城市化率排序为F省>G省>H省。这个时候，H省份觉得这种评比方式不合理，他把调研员的符号做了一下改变，把"|"符号两边调换了一下，即由P(城市|省份)更改为P(省份|城市)，调研员问，这符号表示什么，H省的工作人员答复说，这表示在所有的城市中，某个省份的城市占比，计算公式为P(省份,城市)/P(城市)。三个省份的计算公式如下：

                                                               P(F|城市)=P(F,城市)/P(城市)≈27%

                                                                P(G|城市)=P(G,城市)/P(城市)≈32%

                                                                P(H|城市)=P(H,城市)/P(城市)≈41%

调研员使用H省工作人员推荐的公式一算，发现在这个指标下，H省排在了最前头。

为何只是调换一下，意思完全不同，而且结果也很大的不同？

我们来看一下调研员使用的记号P(城市|F)，这表示F省份的城市占比，是F省份的城市占F省总面积的比例。城市可以是H省的城市，也可以是G省的城市，但是设定了F省份作为一个前提条件，那么只能用F省的城市做计算。这其实就是 条件概率，条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，换句话说，事件A发生的概率要考虑事件B的影响 。我们再看看H省推荐的符号P(F|城市)，前提条件变为了城市，即三个省份的城市面积之和，在这个前提条件下来讨论F省份城市占城市总面积之比。

为什么调换一下，结果完全不同，那是因为在不同条件下计算概率导致的，条件不同，概率值当然也不同。这在日常生活中能找到各种例子，例如我们都知道经济好坏对股市的影响很大，经济好的时候（股市上涨的概率和经济差的时候股市上涨的概率是不同的。有句话说，抛开剂量谈毒性也有条件概率的意思在里面，剂量是一个前提条件，必须得考虑前提条件才能谈毒性大小。

根据以上的例子，可以更抽象提出条件概率的严格定义：

定义：如果A和B是两个事件，且P(B)≠0。那么事件B条件下，事件A的条件概率为

                                                                            P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

P(A∩B)表示A和B的交集，相当于双方的共同部分，在上例中，因为城市的面积包含在省份面积中，因此P(A∩B)就是城市的面积，其他P(A|B)和P(B)分别表示城市面积占比和省份面积。得到条件概率的公式，那就可以在公式上做做文章做更多的推论。

例如在公式两边都乘以P(B)，得到推论1：

                                                                            P(A∩B)=P(A|B)P(B)

左边P(A∩B)是城市的面积，右边P(A|B)城市面积占比，P(B)省份面积。还可以通过另一个例子来理解，例如专家预测经济上行的概率为P(经济上行)，专家根据往年的统计，在经济上行的时候，股市上涨的概率为P(股市涨|经济上行)，套用公式，我们可以推出经济上行而且股市涨的概率

                                            P(股市涨∩经济上行)=P(股市涨|经济上行)×P(经济上行)

还有一个推论，我们知道，所有城市总面积是三个城市面积之和，计算公式如下：

                                                    P(城市)=P(F,城市)+P(G,城市)+P(H,城市)

我们再把推论1计算城市面积的公式套进去，得到:

                                            P(城市)=P(城市|F)P(F)+P(城市|G)P(G)+P(城市|H)P(H)      

这是通过已知的条件概率，来计算一个事件的概率的方法，这个推论是有前提条件的，只是在本例中这个前提条件看起来不那么明显，这个前提条件是三个省份不相关，或者互斥的，如果满足这个条件，我们可以得到更一般的推论公式：

推论2：有事件B1,B2,...,Bn，如果 （这表示所有事件B并起来等于整个样本空间，例如三个省份面积并起来等于这个国家的面积），并且两个不同事件互斥(Bi ∩ Bj=Φ， 如果i≠j，对应到例子中，各个省份没有交集），且任意P(Bi)>0。那么，对于任意事件A，有：

                                                                    P(A)=