Question

arcsinx的原函数是什么?

Answer 1

arcsinx的原函数可以用分部积分法进行求解，具体过程如下：

∫arcsinxdx

=xarcsinx-∫x(arcsinx)'dx

=xarcsinx-∫x/√（1-x²)dx

=xarcsinx-1/2∫1/√（1-x²)d(x²-1)

=xarcsinx+1/2∫1/√（1-x²)d(1-x²)

=xarcsinx+√（1-x²)/2+C

所以，arcsinx的原函数为∫arcsinxdx=xarcsinx+√（1-x²)/2+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。