Question

求x趋于2,3,4,n时(x-x^3)/sinπx的极限,

Answer 1

先说g(x)=1/sinπx的极限.
1.x->n- 且n为偶数 (包括了2和4,例:x->2-,表示x从1的方向趋向于2)
1/g(x) -> -0 (从负方向趋向0)
g(x)->负无穷大
2.x->n+ 且n为偶数 (包括了2和4)
同理,g(x)->正无穷大
3.x->n- 且n为奇数
同理,g(x)->正无穷大
4.x->n+ 且n为奇数
同理,g(x)->负无穷大
分子,h(x) = x-x^3 = x(1-x^2).
当x为有限的非1正整数时,h(x)永远是一个小于0的有限整数
所以,f(x) = g(x) h(x) = -c g(x) (c是一个有限的正整数)
回到前面的1、2、3、4,
所以,当x->n时,函数f(x) = (x-x^3)/sinπx 的极限：
如n为偶数且x->n-,则f(x)->正无穷大;
如n为偶数且x->n+,则f(x)->负无穷大;
如n为奇数且x->n-,则f(x)->负无穷大;
如n为奇数且x->n-,则f(x)->正无穷大;