Question

求 1/根号(x^2-1)不定积分

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

拓展资料

这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x² dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。

要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

令 x = sect， 则 √(x^2-1) = |tant| , dx = secttantdt
t 为第 1 象限角时：
I = ∫dx/√(x^2-1) = ∫sect tant dt/tant = ∫sect dt = ln|sect+tant| + C
= ln[x+√(x^2-1)] + C