Question

如何判定两个三角形全等

Answer 1

在数学界中一直有一个有意思的话题，不断的被讨论，那就是如何判定两个三角形全等，那么如果我们想要判定两个三角形全等，那么首先我们要确定的，那就是三角形的定义，三角形其实就是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，也就是说，三角形是一个封闭图形，并且它有三条边三个内角和三个顶点，符号语言，我们可以用三角行ABC来表示，并且三角形的三个内角和都等于180度，三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，三角形总体可以分为锐角，直角，钝角，三角形，这些其实都是三角形的定义，那么我们该如何去推理证明证明两个三角形是全等的呢？

全等的定义其实就是能够完全重合，所以三角形全等，也就是两个三角形可以完全的重合，那么你想象一下，将两个全等三角形拼到一起，现在组成的还是这个三角形，而这两个三角形的每一组对应边都是相等的，每一组对应角也都是相等的，所以现在我们可以得到一个结论，每组对应边和每组对应角相等的两个三角形全等，中文简称也就是（边边边，角角角），符号语言就是（SSSAAA）。

虽然我们有了这样的一个方法，但是用三条边三个角来判定三角形全等，这似乎太过于复杂了，那么还有没有更加简单的方法呢？可以减少一定的条件去证明两个三角形全等的呢？所以我们想到了以下这几种方法。

现在满足条件个数有六种，而可能情况也在表格之中，表现出来了，最终在我们去验证这些方法是否可行的时候，我们是从少的条件到多的条件去探索的，经过我们的实际操作，发现一个条件和两个条件根本不可能确定两个三角形全等，所以为了节省时间，我们直接来看一下三种条件的吧！

如果是三种条件细分的话，也就是这六种情况，那么我们先来看一下三个角，这个情况。

想要用三个角去证明两个三角形全等如上图，这种方法其实是不可行的，我已经举出来了，一种返利了，其实如果不举返利，大家也应该可以想到，因为如果你想下，如果三个角都确定了，那么每一条边的方向他都已经确定了，并且也组成了这三个点，但是问题就是在于每一条边的长度都没有规定下来，这样子就可能会导致把这个原有的三角形放大，所以这种方法是不可行的，那么我们再来看第二种方法。

这里我们已经做出来了一幅图了，大家来看一下，现在AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，而我刚好发现这两个三角形真的是全等的，难道说这种方法真的可以证明两个三角形是全等的吗？有很多人认为这只不过是一个巧合罢了，所以我们为了证明这是一个普遍规律，于是我们举了三种三角形，也就是分别画两个三边都相等的直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，而最终我们得到的结果是他们都是全等的，而这也就是我们发现的第一个可以简洁的判定两个三角形全等的方法了，我们可以把它称之为边边边，也就是sss，但是制冷方法我们似乎并不能够用那些严格的推理证明去证明这两个三角形是全等的，所以这个方法其实实质上也就是一个不证自明的公理，他并不是一个定理，因为我们无法基于已有的任何东西去证明它。

通过我们的画图与探索，你就发现这种方法，其实也是可以证出来两个三角形是全等的，而这种方法，我们也是同样无法用严格的逻辑推理去证明它，所以这也就是一个公里。而他也就可以称之为角边角，ASA。

当然，两角一边的方法还有另一种情况，那就是两角和一角的对边，那么这种情况他能否判定两个三角形全等呢？其实也是可以的，最终我们也经过画图和推理证明，也验证了这个方法，而他其实也是一个定理，他的名字也就叫作角角边，AAS。

一角两边也同样可以分为两种可能，那就是两边夹一角，或者两边和一边的对角，我们先来看一下第一种情况，两边加一角的情况。

这种情况随机画出的两个三角形是全等的，后来我们也分别画出来了，直角三角形钝角三角形锐角三角形，以同样验证了这个方法，这也就是我们第四种快速判断三角形全等的方法，我们可以把它称之为边角边，SAS，这种方法同样也是不能够证明的，所以也就是一个公里。

现在还有最后一种情况，那就是当两个三角形的两边及一边的对角相等，两个三角形是否全等，这种情况下，我们原本认为是可以证明的，可是后来我们却发现，这种方法并不适用于所有的三角形，只要你没有验证的那一条边，也就是不知道的那一条边小于已知的一条边，这种方法也就可以用，但是如果大于的话，也就会出现两种情况，但是这样这两个三角形也就不是全等的了，所以这个方法也就排除掉了。

所以现在我们一共得到了四种方法，可以判定两个三角形全等也就是边边边，角边角，角角边和边角边，这也就是如何判定三角形全等的方法。

在本章的学习当中，我们当然也会做一些练习，当我在做这些练习的时候，别人可能会非常不想做练习，但是我反而却沉浸在这些题中，这些题都非常有意思，令我最惊喜的那一次就是一道题，他有三道小题，这三道小题其实也意味着三层难度，第一层非常的简单，第二层稍微困难一些，第三层那更是难上加难，但是当你在正第二层的时候，你却可以运用你第一层已经证出来的东西，第三层也同样可以使用一二层证出来的，这就非常的有意思，而我也同样认为，那些真正有难度的，并且变幻莫测的题，正是我喜爱的。